Question

如圖，已知△ABC中∠C=90°，BC=4，AC=3，點P是斜邊AB上的一動點，作PE⊥BC于點E，作PF⊥AC于點F，垂足分別為E、F．
（1）求證：四邊形PECF是矩形；
（2）想一想，當點P運動到什么地方時，△APF與△PBE全等，證明你的猜想；
（3）想一想，當點P運動到什么地方時，四邊形PECF是正方形，證明你的猜想；
（4）想一想，當點P運動到什么地方時，四邊形PECF的面積最大，并求出這個最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）知道什么是矩形即可求解，即確定四個角都是直角即可．
（2）若使兩三角形全等，因為都是直角三角形，且PF∥BC，只需一條邊相等即可，即P運動到中點位置時，兩條斜邊相等．
（3）由（1）知四邊形PECF是矩形，要使其為正方形，只需相鄰兩條邊相即可．先假設其兩鄰邊相等，即PE=PF，在假設其為一未知量x，通過相似三角形求其具體的值．
（4）這一問涉及二次函數求最值問題，可先假設AP=x，由△APF∽△ABC，求出x的值，進而求出其最大面積，即P點移動到AB中點時的面積為最大．
解答：解：（1）證明：∵PE⊥BC，
∴∠PEC=90°（1分）
同理：∠PFC=∠C=90°，
∴四邊形PECF是矩形（有三個角是直角的四邊形是矩形）；（2分）

（2）P運動到線段AB的中點時，△APF與△PBE全等（3分）
∵PE⊥BC，
∴∠PEB=∠C=90°，
∴PE∥AC，
∴∠EPB=∠A（4分）
同理∠APF=∠B，
若點P是AB的中點則有AP=PB，
可得△APF≌△PBE（ASA）；（5分）

（3）當AP=時，四邊形PECF是正方形，
由（1）知四邊形PECF是矩形，若四邊形PECF是正方形，
則有PE=PF，設PE=PF=x，
則CF=x，AF=3-x，（6分）
∵PE∥AC，
∴∠BEP=∠C，∠BPE=∠A，
∴△APF∽△ABC，（7分）
∴，即，
解得x=，
經檢驗x=是方程的根，
∴AF=3-x=，CF=x=，
在Rt△AFP中，根據勾股定理得：AP==，
即當AP=時，PE=PF=，
矩形PECF是正方形；

（4）當AP=時，四邊形PECF的面積最大．
由（1）知四邊形PECF是矩形，
∵∠C=90°，BC=4，AC=3，
∴根據勾股定理得：AB==5，（9分）
設AP=x，則由△APF∽△ABC可得：，即PF=，
==，即AF=，
∴PE=3-，
∴S_矩形PECF=PF•FC=x（3-x）（10分）
∵x（3-x）=-（x-）²+3，
∴當x=時四邊形PECF的面積最大，最大值為3．（11分）
點評：熟練掌握正方形及矩形的性質及判定，理解直角三角形勾股定理的概念，能夠求解二次函數的最值問題．