Question

6、證明：若p是大于5的質數，則p²-1是24的倍數．

Answer 1

分析：分析整數的問題，我們常把它分成奇數和偶數（即按模2分類）來討論，有時也把整數按模3分成三類：3k，3k+1，3k+2．一般地，可根據問題的需要，把整數按模n來分類．本題我們按模6來分類．

解答：證明：把正整數按模（6分）類，可分成6類：6k，6k+1，6k+2，6k+3，6k+4，6k+5，
因p是大于5的質數，故p只能屬于6k+1，6k+5這兩類，
①當p=6k+1時，p²-1=36k²+12k=12k（3k+1），
因k，3k+1中必有一個偶數，此時24是（p²-1）的約數，
②當p=6k+5時，
p²-1=36k²+60k+24，
=12k2+12k，
=12k（k+1），
所以，P²-1是24的倍數．

點評：本題主要考查了質數與合數的定義，在解答此題時，從整數的整除方面考慮問題．