Question

（2004•遼寧）已知：射線OF交圓O于點B，半徑OA⊥OB，P是射線OF上的一個動點，（不與O，B重合），直線AP交圓O于D，過D作圓O的切線交射線OF于E，
（1）圖a是點P在圓內移動時符合已知條件的圖形，請你在圖b中畫出點P在圓外移動時符合已知條件的圖形；
（2）觀察圖形，點P在移動過程中，△DPE的邊，角或形狀存在某些規律，請你通過觀察，測量，比較，寫出一條與△DPE的邊，角或形狀有關的規律；
（3）在點P移動的過程中，設∠DEP的度數為x，∠OAP的度數為y，求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）按要求作圖即可．
（2）圖a中，連接OD，則∠OAD=∠ODA，由切線的性質易得∠ODA與∠AOP都是直角，因此∠PDE、∠DPE（即∠APO）是等角的余角，由此可證得∠PDE=∠EPD，所以DE=EP，△DEP是等腰三角形；
圖b的證法同上，結論與圖a相同．
（3）由（2）知：△DEP是等腰三角形，即可由三角形的內角和定理及頂角∠DEP的度數表示出∠DPE的度數，由于∠OAP、∠DPE互余，由此可求得y、x的函數關系式．
解答：解：（1）圖象如右圖：

（2）∠EDP=∠DPE或ED=EP或△PDE是等腰三角形．
理由：圖a中，連接OD；
則∠OAD=∠ODA；
又DE切⊙O于D，
∴∠ODE=∠POA=90°，
∴∠OPA=∠DPE=∠PDE，即DE=PE，△DPE是等腰三角形；
圖b的證法與圖a相同，結論一致．

（3）由題意得△PDE是等腰三角形，
∴∠EDP=∠DPE，
∴∠DPE=；
在Rt△OAP中，y+=90°，
∴y=（0°＜x＜180°且x≠90°）．
點評：此題主要考查了切線的性質、等腰三角形的判定與性質以及三角形內角和定理的綜合應用，難度適中．