Question

如圖，P為圓外一點，PA切圓于A，PA=8，直線PCB交圓于C、B，且PC=4，連接AB、AC，∠ABC=α，∠ACB=β，則

sinα

sinβ

=

 

．

Answer 1

分析：過A作AD⊥BC于D，則得到三角形ABD和ACD為直角三角形，然后由角P為公共角，根據弦切角等于夾弧所對的圓周角得到角CAP等于角B，由兩組對應角相等得到兩三角形相似，得到對應邊成比例，根據銳角三角函數定義表示出sinα和sinβ的比值，將已知的PA和PC的長代入即可求出值．

解答：解：作AD⊥BC于D．則sinα=

AD

AB

，sinβ=

AD

AC

，
∵∠P=∠P，∠CAP=∠B，
∴△ACP∽△BAP，∴

AC

AB

=

PC

PA

，又PA=8，PC=4，
則

sinα

sinβ

=

AD

AB

÷

AD

AC

=

AC

AB

=

PC

PA

=

1

2

；
故答案是：

1

2

．

點評：此題切線的性質，三角形相似的判別與性質，以及銳角三角函數的定義．作出AD垂直于BC構造兩直角三角形是解本題的關鍵．解答此類題的方法是仔細審題，結合圖形，找到突破點．