Question

【題目】如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點C作CEBD，且CE＝BD．

（1）求證：四邊形OCED是矩形；

（2）連接AE交CD于點G，若AE⊥CD．

①求sin∠CAG的值；

②若菱形ABCD的邊長為6cm，點P為線段AE上一動點（不與點A重合），連接DP，一動點Q從點D出發，以1cm/s的速度沿線段DP勻速運動到點P，再以cm/s的速度沿線段PA勻速運動到點A，到達點A后停止運動，當點Q沿上述路線運動到點A所需要的時間最短時，求AP的長和點Q走完全程所需的時間t．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）① ；②

【解析】

（1）首先證明四邊形OCED是平行四邊形，再根據∠COD＝90°推出是矩形．

（2）①由DE∥AC，DE＝OC＝OA，推出，設DG＝m，則CG＝2m，DC＝AD＝3m，求出AC即可解決問題．

②過點P作PT⊥AC于T．由sin∠PAT＝，推出PT＝PA，由點Q的運動時間t＝＝PD+PT，根據垂線段最短可知，當D，P，T共線，且DT⊥AC時，PD+PT的值最小，最小值＝線段OD的長．

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OB＝OD，

∵EC＝BD，

∴EC＝OD，

∵EC∥OD，

∴四邊形OCED是平行四邊形，

∵∠COD＝90°，

∴四邊形OCED是矩形．

（2）解：①∵四邊形OCED是矩形，

∴DE∥AC，DE＝OC＝OA，

∴，設DG＝m，則CG＝2m，DC＝AD＝3m，

∵AE⊥CD，

∴∠AGD＝∠AGC＝90°，

∴AG＝，

∴AC＝，

∴sin∠CAG＝．

②過點P作PT⊥AC于T．

∵sin∠PAT＝，

∴PT＝PA，

∵點Q的運動時間t＝＝PD+PT，

根據垂線段最短可知，當D，P，T共線，且DT⊥AC時，PD+PT的值最小，最小值＝線段OD的長，

由（2）可知3m＝6，

m＝2，

∴AC＝，OA＝，

∵∠AOD＝90°，

∴OD＝，

∵DE∥OA，

∴，

∴OP＝PD＝，此時AP＝，

∴滿足條件的PA的值為，點Q走完全程所需的時間t＝（s）．