Question

【題目】如圖，反比例函數y＝（x＞0）的圖象與直線y＝x交于點M，∠AMB＝90°，其兩邊分別與兩坐標軸的正半軸交于點A、B，四邊形OAMB的面積為6．

（1）求k的值；

（2）點P在（1）的反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，若點P的橫坐標為3，在x軸上有一點D（4，0），若在直線y＝x上有動點C，構成△PDC，其面積為3，請寫出C點的坐標；

（3）若∠EPF＝90°，其兩邊分別為與x軸正半軸，直線y＝x交于點E、F，問是否存在點E，使PE＝PF？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）k＝6；（2）滿足條件的點C坐標為或；（3）存在，（4，0）和（6，0）

【解析】

（1）過點M作MC⊥x軸于點C，MD⊥y軸于點D，根據AAS證明△AMC≌△BMD，那么S四邊形OCMD=S四邊形OAMB=6，根據反比例函數比例系數k的幾何意義得出k=6；
（2）如圖1-1中，延長DP交OC于點E，作DH⊥OC于H．利用三角形的面積公式求出EC的長即可解決問題；
（3）先根據反比例函數圖象上點的坐標特征求得點P的坐標為（3，2）．再分兩種情況進行討論：①如圖2，過點P作PG⊥x軸于點G，過點F作FH⊥PG于點H，交y軸于點K．根據AAS證明△PGE≌△FHP，進而求出E點坐標；②如圖3，同理求出E點坐標．

解：（1）如圖1，過點M作MC⊥x軸于點C，MD⊥y軸于點D，

則∠MCA＝∠MDB＝90°，∠AMC＝∠BMD，MC＝MD，

∴△AMC≌△BMD，

∴S四邊形OCMD＝S四邊形OAMB＝6，

∴k＝6；

（2）如圖1﹣1中，延長DP交OC于點E，作DH⊥OC于H，作PJ⊥OC于J，

∵D（4，0），P（3，2），

∴直線PD的解析式為y＝﹣2x+8，

由，解得．

∴E（，），

在Rt△ODH中，∵∠DOH＝45°，OD＝4，

∴DH＝2，同法可得PJ＝

∵ECDH﹣ECPJ＝3，

∴EC＝2，

∴滿足條件的點C坐標為（，）或（，）．

（3）存在點E，使得PE＝PF．

由題意，得點P的坐標為（3，2）．

①如圖2，過點P作PG⊥x軸于點G，過點F作FH⊥PG于點H，交y軸于點K．

∵∠PGE＝∠FHP＝90°，∠EPG＝∠PFH，PE＝PF，

∴△PGE≌△FHP，

∴PG＝FH＝2，FK＝OK＝3﹣2＝1，GE＝HP＝2﹣1＝1，

∴OE＝OG+GE＝3+1＝4，

∴E（4，0）；

②如圖3，過點P作PG⊥x軸于點G，過點F作FH⊥PG于點H，交y軸于點K．

∵∠PGE＝∠FHP＝90°，∠EPG＝∠PFH，PE＝PF，

∴△PGE≌△FHP，

∴PG＝FH＝2，FK＝OK＝3+2＝5，GE＝HP＝5﹣2＝3，

∴OE＝OG+GE＝3+3＝6，

∴E（6，0），

故答案為（4，0）和（6，0）．