Question

用1，9，9，0四個數碼組成的所有可能的四位數中，每一個這樣的四位數與自然數n之和被7除余數都不為1，將所有滿足上述條件的自然數n由小到大排成一列n₁＜n₂＜n₃＜n₄……，

試求：n₁·n₂之值．

Answer 1

可能的四位數有9種：

1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．

其中  1990=7×284+2，1909=7×272+5．

1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,

9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，

9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．

即它們被7除的余數分別為2，5，0，5，2，5，3，3，6．

即余數只有0，2，3，5，6五種．

它們加1，2，3都可能有余1的情形出現．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．

而加4之后成為：4，6，7，9，10，沒有一個被7除余1，所以4是最小的n．

又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成為7，9，10，12，13．沒有一個被7除余1．所以7是次小的n．

即  n₁=4，n₂=7

∴  n₁×n₂=4×7=28．