Question

如圖，直線y=

3

4

x+3和x軸、y軸的交點分別為點B、A，點C是OA的中點，過點C向左方作射線CM⊥y軸，點D是線段OB上一動點，不和點B重合，DP⊥CM于點P，DE⊥AB于點E，連接PE．
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）設點D的橫坐標為x，△BED的面積為S，求S關于x的函數關系式；
（3）是否存在點D，使△DPE為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有滿足要求的x的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）令x=0求出點A的坐標．令y=0求出點B的坐標．又因為C為AO的中點，易求C點坐標．
（2）首先用勾股定理求得AB=5．又因為點P的橫坐標為x，求出OD，BD．利用三角函數求出BE，DE的值，從而求出S．
（3）存在．要使△DPE為等腰三角形，那么頂點在線段DP．DE．PE的垂直平分線上．

解答：解：（1）將x=0代入y=

3

4

x+3，得y=3，故點A的坐標為（0，3）；
∵C為OA的中點，則C點坐標為（0，1.5）；
將y=0代入y=

3

4

x+3，得x=-4，故點B的坐標為（-4，0）；
則A、B、C三點的坐標分別為（0，3），（-4，0），（0，1.5）；

（2）由（1）得OB=4，OA=3，則由勾股定理可得，AB=5．                                   
∵點P的橫坐標為x，故OD=-x，則BD=4+x，
又由已知得，∠DEB=∠AOB=90°，
∴sin∠DBE=sin∠ABO=

DE

BD

=

OA

AB

=

3

5

，

DE

4+x

=

3

5

，DE=

3

5

(4+x)，
cos∠DBE=cos∠ABO=

BE

BD

=

OB

AB

=

4

5

，

BE

4+x

=

4

5

，BE=

4

5

（4+x），
∴S=

1

2

×

4

5

(4+x)×

3

5

(4+x)．
S=

6

25

(4+x)2（-4＜x≤0）．                                                   

（3）存在；符合要求的點有三個，x=0，-1.5，-

39

16

．

點評：本題考查的是一次函數的綜合應用，三角函數的相關知識以及三角形面積計算．考生要注意的是要結合圖象解答題目．難度中上．