Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，線段AD是BC邊上的中線，如圖①，將△ADC沿直線BC平移，使點D與點C重合，得到△FCE；如圖②，再將△FCE繞點C順時針旋轉，設旋轉角為α（0°＜α≤90°），連接AF、DE．

（1）在旋轉過程中，當∠ACE=150°時，求旋轉角α的度數；
（2）請探究在旋轉過程中，四邊形ADEF能形成哪些特殊四邊形？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）分兩種情況：①點E和點D在直線AC兩側；②點E和點D在直線AC的同側分別得出即可；
（2）利用當α=60°時以及當α≠60°時，∠ACF≠120°，分別得出四邊形ADEF為平行四邊形，以及AE=DF和AF∥DE即可得出答案．
解答：解：（1）在圖①中，∵∠BAC=90°，∠B=30°，
∴∠ACE=∠BAC+∠B=120°．
在旋轉過程中，分兩種情況：
①當點E和點D在直線AC兩側時，如圖2，
∵∠ACE=150°，
∴α=150°-120°=30°；
②當點E和點D在直線AC的同側時，如備用圖，
∵∠ACB=180°-∠BAC-∠B=60°，
∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=150°-60°=90°，
∴α=180°-∠DCE=90°．
∴旋轉角α為30°或90°；

（2）四邊形ADEF能形成等腰梯形和矩形．
∵∠BAC=90°，∠B=30°，，
又AD是BC邊上的中線，∴AD=CD=BC=AC，
∴△ADC為正三角形．
①當∴α=60°時，∠ACE=120°+60°=180°，
∵CA=CE=CD=CF，∴四邊形ADEF為平行四邊形，
又∵AE=DF，∴四邊形ADEF為矩形，
②當α≠60°時，∠ACF≠120°，∠DCE=360°-60°-60°-∠ACF≠120°，
顯然DE≠AF，
∵AC=CF，CD=CE
∵2∠FAC+∠ACF=180°，2∠CDE+∠DCE=180°∠ACF+∠DCE=360°-60°-60°=240°，
∴2∠FAC+2∠CDE=120°，
∴∠FAC+∠CDE=60°，
∵∠DAF+∠ADE=120°+60°=180°
∴AF∥DE．∴四邊形ADEF為等腰梯形．
點評：此題主要考查了旋轉的性質以及矩形、等腰梯形的判定等知識，利用旋轉得出正確圖形是解題關鍵．