Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC、AC分別交于D、E兩點， DFAC于F．
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）若，CF=9，求AE的長．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）7．

試題分析：（1）連接OD，AD，求出OD∥AC，推出OD⊥DF，根據切線的判定推出即可.
（2）求出CD、DF，推出四邊形DMEF和四邊形OMEN是矩形，推出OM=EN，EM=DF=12，求出OM，即可求出答案．
試題解析：（1）連接OD，AD，
∵AB是⊙的直徑，∴∠ADB=90°.
又∵AB=AC，∴BD=CD.
又∵OB=OA，∴OD∥AC.
∵DF⊥AC，∴OD⊥DF.
又∵OD為⊙的半徑，∴DF為⊙O的切線．

（2）連接BE交OD于M，過O作ON⊥AE于N，則AE=2NE，
∵，CF=9，∴DC=15．∴.
∵AB是直徑，∴∠AEB=∠CEB=90°.
∵DF⊥AC，OD⊥DF，∴∠DFE=∠FEM=∠MDF=90°.∴四邊形DMEF是矩形.
∴EM=DF=12，∠DME=90°，DM=EF.即OD⊥BE.
同理四邊形OMEN是矩形，∴OM=EN.
∵OD為半徑，∴BE=2EM=24.
∵∠BEA=∠DFC=90°，∠C=∠C，∴△CFD∽△CEB.
∴，即.
∴EF=9=DM.
設⊙O的半徑為R，
則在Rt△EMO中，由勾股定理得：，解得：.
則EN=OM=.
∴AE=2EN=7．