Question

如圖1，已知∠EOF，點B、C在射線OF上，四邊形ABCD是平行四邊形，AC、BD相交于點M，連接OM．
（1）當OM⊥AC時，求證：OA=OC．
（2）如圖2，當∠EOF=45°時，且四邊形ABCD是邊長為a的正方形時，求OM的長．（結果保留根號）

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AM=CM，
∵OM⊥AC，
∴OM是AC的垂直平分線，
∴OA=OC；

（2）過M作MG⊥OF于G，
∵四邊形ABCD是邊長為a的正方形，
∴AD∥BC，∠DBC=45°，
∵∠EOF=45°，
∴∠AOB=∠EOF，
∴AO∥DB，
∴四邊形AOBD是平行四邊形，
∴AD=OB=a，
∵OG=

3

2

a，
∵BC=a，
∴MG=

1

2

a，
∴OM=

MG2+OG2

=

10

2

a．