Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，已知點B（8，0），等邊三角形OAB的頂點A在反比例函數y＝的圖象上．

（1）求反比例函數的表達式；

（2）把△OAB向右平移a個單位長度，對應得到△O′A′B′，當這個函數圖象經過△O′A′B′一邊的中點時，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）a的值為2或6．

【解析】

（1）過點A作AC⊥OB于點C，根據等邊三角形的性質得出點A坐標，用待定系數法求得反比例函數的解析式即可；

（2）分兩種情況討論：①反比例函數圖象過AB的中點；②反比例函數圖象過AO的中點．分別過中點作x軸的垂線，再根據30°角所對的直角邊是斜邊的一半得出中點的縱坐標，代入反比例函數的解析式得出中點坐標，再根據平移的法則得出a的值即可．

解：（1）如圖1，過點A作AC⊥OB于點C，

∵△OAB是等邊三角形，

∴∠AOB＝60°，OC＝OB，

∵B（8，0），

∴OB＝OA＝8，

∴OC＝4，AC＝．

把點A（4，）代入y＝，得k＝．

∴反比例函數的解析式為y＝；

（2）分兩種情況討論：

①如圖2，點D是A′B′的中點，過點D作DE⊥x軸于點E．

由題意得A′B′＝8，∠A′B′E＝60°，

在Rt△DEB′中，B′D＝4，DE＝，B′E＝2．

∴O′E＝6，

把y＝代入y＝，得x＝8，

∴OE＝8，

∴a＝OO′＝8﹣6＝2；

②如圖3，點F是A′O′的中點，過點F作FH⊥x軸于點H．

由題意得A′O′＝8，∠A′O′B′＝60°，

在Rt△FO′H中，FH＝，O′H＝2．

把y＝代入y＝，得x＝8，

∴OH＝8，

∴a＝OO′＝8﹣2＝6，

綜上所述，a的值為2或6．