Question

如圖，⊙O的直徑AB=10，CD是⊙O的弦，AC與BD相交于點(diǎn)P．
（1）判斷△APB與△DPC是否相似？并說(shuō)明理由；
（2）設(shè)∠BPC=α，如果sinα是方程5x²-13x+6=0的根，求cosα的值；
（3）在（2）的條件下，求弦CD的長(zhǎng)？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圓周角定理，可得出△CPD和△BPA的兩組對(duì)應(yīng)角相等，由此可判定兩個(gè)三角形相似；
（2）通過解方程可求出sinα的值（注意sinα的取值范圍），進(jìn)而可得出cosα的值；
（3）若連接BC，則∠ACB=90°，△BPC是直角三角形；根據(jù)cosα的值，即可求出PC、BC的比例關(guān)系式，根據(jù)（1）的相似三角形可得出CD：AB=CP：BP=cosα，由此可求出弦CD的長(zhǎng)．
解答：解：（1）相似；
∵∠A=∠D，∠APB=∠DPC
∴△APB∽△DPC；

（2）連接BC．
∵AB在直徑，
∴AC⊥BC，
∴∠PCB為直角，
∵5x²-13x+6=0，
∴（x-2）（5x-3）=0；
解得：x₁=2（不符合題意），x₂=；
∴sinα=，∴cosα=；

（3）在（2）成立的條件下，得：cosα=．
∵AB在直徑，
∴AC⊥BC，
∴=cosα=，
又∵=，AB=10，
∴=，
∴CD=8．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方程的解法、銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)．