Question

【題目】如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，AP是⊙O的切線．已知AC=4，BC=5．

（1）求證：∠PAC=∠ABC；

（2）作∠BAC的平分線，與⊙O相交于點D，與BC相交于點E，連接并延長DC，與AP相交于點F（如圖2），若AE=AC，求CF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析　　（2）

【解析】（1）作直徑AQ，連接QC，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠PAQ=90°，求出∠PAC+∠CAQ=90°，根據(jù)圓周角定理得出∠ACQ=90°，∠PAC=∠Q，即可求出答案；

（2）求出∠AEC=∠ACE，∠FAC=∠ABC，根據(jù)相似三角形的判定得出△FAC∽△ABC，得出比例式，代入求出即可．

（1）證明：

作直徑AQ，連接QC，

∵AP是⊙O的切線，

∴∠PAQ=90°，

∴∠PAC+∠CAQ=90°，

∵AQ是直徑，

∴∠ACQ=90°，

∴∠CAQ+∠Q=90°，

∴∠PAC=∠Q，

∵∠Q=∠ABC，

∴∠PAC=∠ABC；

（2）解：∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠BAD=∠CAD，

∴∠ACF=∠ADC+∠CAD=∠ABC+∠BAD=∠AEC，

∵AE=AC，

∴∠AEC=∠ACE，

由（1）知：∠FAC=∠ABC，

∴△FAC∽△ABC，

∴=，

即=，

∴CF=．