Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為AC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，連接AF．
（1）求證：△AED≌△CEF；
（2）在原有條件不變的情況下，請(qǐng)你再添加一個(gè)條件（不再增添輔助線），使四邊形AFCD成為矩形，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據(jù)線段的中點(diǎn)定義可得AE=CE，再由條件AD∥CB，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠1=∠2，∠3=∠4，利用AAS定理可證明△AED≌△CEF；
（2）添加條件∠ADC=90°，由△AED≌△CEF可得DE=EF，再有AE=CE可以根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明四邊形AFCD是平行四邊形，再加上條件
∠ADC=90°可以根據(jù)矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可以證明四邊形AFCD成為矩形．
解答：解：（1）證明：∵E為AC的中點(diǎn)，
∴AE=CE，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
在△AED和△CEF中，
∴△AED≌△CEF（AAS）；

（2）添加條件∠ADC=90°，
∵△AED≌△CEF，
∴DE=EF，
又∵AE=EC，
∴四邊形AFCD是平行四邊形，
∵∠ADC=90°，
∴四邊形AFCD是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及矩形的判定，關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法：AAS、SSS、ASA、SAS，以及矩形的判定方法：①矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形（或“對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）．