Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，矩形ABOC的邊BO在x軸的負半軸上，邊OC在y軸的正半軸上，且AB=1，OB=

3

，矩形ABOC繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到矩形EFOD．點A的對應(yīng)點為點E，點B的對應(yīng)點為點F，點C的對應(yīng)點為點D，拋物線y=ax²+bx+c過點A，E，D．
（1）判斷點E是否在y軸上，并說明理由；
（2）求拋物線的函數(shù)表達式；
（3）在x軸的上方是否存在點P，點Q，使以點O，B，P，Q為頂點的平行四邊形的面積是矩形ABOC面積的2倍，且點P在拋物線上？若存在，請求出點P，點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可連接OA，通過證∠AOE=60°，即與旋轉(zhuǎn)角相同來得出OE在y軸上的結(jié)論．
（2）已知了AB，OB的長即可求出A的坐標，在直角三角形OEF中，可用勾股定理求出OE的長，也就能求得E點的坐標，要想得出拋物線的解析式還少D點的坐標，可過D作x軸的垂線，通過構(gòu)建直角三角形，根據(jù)OD的長和∠DOx的正弦和余弦值來求出D的坐標．
求出A、E、D三點坐標后即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（3）可先求出矩形的面積，進而可得出平行四邊形OBPQ的面積．由于平行四邊形中OB邊的長是定值，因此可根據(jù)平行四邊形的面積求出P點的縱坐標（由于P點在x軸上方，因此P的縱坐標為正數(shù)），然后將P點的縱坐標代入拋物線中可求出P點的坐標．求出P點的坐標后，將P點分別向左、向右平移OB個單位即可得出Q點的坐標，由此可得出符合條件的兩個P點坐標和四個Q點坐標．

解答：解：（1）點E在y軸上
理由如下：
連接AO，如圖所示，在Rt△ABO中，∵AB=1，BO=

3

，
∴AO=2∴sin∠AOB=

1

2

，∴∠AOB=30°
由題意可知：∠AOE=60°∴∠BOE=∠AOB+∠AOE=30°+60°=90°
∵點B在x軸上，∴點E在y軸上．

（2）過點D作DM⊥x軸于點M，
∵OD=1，∠DOM=30°
∴在Rt△DOM中，DM=

1

2

，OM=

3

2

∵點D在第一象限，
∴點D的坐標為(

3

2

，

1

2

)
由（1）知EO=AO=2，點E在y軸的正半軸上
∴點E的坐標為（0，2）
∴點A的坐標為（-

3

，1）
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點E，
∴c=2
由題意，將A（-

3

，1），D（

3

2

，

1

2

）代入y=ax²+bx+2中，
得

3a- 3 b+2=1 3 4 a+ 3 2 b+2= 1 2

解得

a=- 8 9 b=- 5 3 9

∴所求拋物線表達式為：y=-

8

9

x²-

5 3

9

x+2

（3）存在符合條件的點P，點Q．
理由如下：∵矩形ABOC的面積=AB•BO=

3

∴以O(shè)，B，P，Q為頂點的平行四邊形面積為2

3

．
由題意可知OB為此平行四邊形一邊，
又∵OB=

3

∴OB邊上的高為2
依題意設(shè)點P的坐標為（m，2）
∵點P在拋物線y=-

8

9

x²-

5 3

9

x+2上
∴-

8

9

m²-

5 3

9

m+2=2
解得，m₁=0，m₂=-

5 3

8

∴P₁（0，2），P₂（-

5 3

8

，2）
∵以O(shè)，B，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴PQ∥OB，PQ=OB=

3

，
∴當點P₁的坐標為（0，2）時，點Q的坐標分別為Q₁（-

3

，2），Q₂（

3

，2）；
當點P₂的坐標為（-

5 3

8

，2）時，點Q的坐標分別為Q₃（-

13 3

8

，2），Q₄（

3 3

8

，2）．

點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)變換、平行四邊形的性質(zhì)等知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．