Question

如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D．
（1）尺規作圖：作△ABC的外接圓⊙O，作直徑AE，連接CE；（不寫作法，保留作圖痕跡） 
（2）已知AD=4，AB=5，AC=6，求外接圓的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別作AB、AC兩邊的垂直平分線，相交于點O，再以O為圓心，以OA長為半徑畫圓，⊙O即為所求的三角形的外接圓，連接AO并延長與⊙O相交于點E，AE即為直徑，再連接CE即可；
（2）根據在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等可得∠B=∠E，直徑所對的圓周角是直角可得∠ACE=90°，然后證明△ABD和△AEC相似，根據相似三角形對應邊成比例列式計算即可得解．
解答：解：（1）如圖所示，⊙O即為所求的三角形的外接圓，AE為直徑；

（2）∵∠B、∠E所對的弧都是，
∴∠B=∠E，
∵AD⊥BC，AE是直徑，
∴∠ADB=∠ACE=90°，
∴△ABD∽△AEC，
∴=，
∵AD=4，AB=5，AC=6，
∴=，
解得AE=．
所以，外接圓的半徑為．
點評：本題考查了作三角形外接圓，主要利用了線段垂直平分線的作法，還考查了直徑所對的圓周角是直角，在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等，以及相似三角形的判定與性質，綜合題，但難度不大．