Question

【題目】如圖，在菱形中，，，過點作，垂足為，，垂足為．

（1）連接，用等式表示線段與的數量關系，并說明理由；

（2）連接，過點作，垂足為，求的長(用含的代數式表示)；

（3）延長線段到，延長線段到，且，連接，，．

①判斷的形狀，并說明理由；

②若，求的值．

Answer 1

【答案】（1），見解析；（2）；（3）①是等邊三角形，見解析；②

【解析】

（1）連接EF，AC，由菱形的性質，可證，然后得到為等邊三角形，由解直角三角形得到，即可得到答案；

（2）由菱形的性質和等邊三角形的性質，求出AF的長度，然后得到BF的長度，然后由相似三角形的性質，得到，即可求出答案；

（3）①由等邊三角形的性質，先證明，然后得到，然后得到，即可得到答案；

②由三角形的面積公式得到，然后得到為等腰直角三角形，再由解直角三角形的性質，即可求出答案．

解：（1）；

理由：∵四邊形是菱形，，

，

，

∵，垂足為，，垂足為，

，

，

，

為等邊三角形，

.

連接，

在中，

，

（2）如圖：

∵四邊形是菱形，，

是等邊三角形，.

，垂足為，

在中，，

在中，，

，垂足為，

，

，

，

（3）如圖：

①是等邊三角形.

理由：連接.

，

為等邊三角形，

，

.

，

，

，

又，

，

.

，

，

為等邊三角形；

②為等邊三角形，

，

.

，

，

，，

，

為等腰直角三角形，

.

過點作，垂足為.

在中，，

，

在中，，

.

又，

；