Question

【題目】如圖，已知等腰△ABC中，AB＝AC．以C為圓心，CB的長為半徑作弧，交AB于點D．分別以B、D為圓心，大于BD的長為半徑作弧，兩弧交于點E．作射線CE交AB于點M．分別以A、C為圓心，CM、AM的長為半徑作弧，兩弧交于點N．連接AN、CN

（1）求證：AN⊥CN

（2）若AB＝5，tanB＝3，求四邊形AMCN的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）12.

【解析】

(1)由作圖可知四邊形AMCN是平行四邊形，CM⊥AB，據此即可得答案；

(2)在Rt△CBM中，利用tan∠B＝＝3，由此可以設BM＝k，CM＝3k，表示出AM，然后在Rt△ACM中，利用勾股定理求出k的值，繼而求得CM＝3，AM＝4，利用矩形面積公式即可求得答案.

(1)由作圖可知：CN＝AM，AN＝CM，

∴四邊形AMCN是平行四邊形，

∵CM⊥AB，

∴∠AMC＝90°，

∴四邊形AMCN是矩形，

∴∠ANC＝90°，

∴AN⊥CN．

(2)在Rt△CBM中，∵tan∠B＝＝3，

∴可以假設BM＝k，CM＝3k，

∵AC＝AB＝5，

∴AM＝5﹣k，

在Rt△ACM中，∵AC2＝CM2+AM2，

∴25＝(3k)2+(5﹣k)2，

解得k＝1或0(舍棄)，

∴CM＝3，AM＝4，

∴四邊形AMCN的面積＝CMAM＝12．