Question

如圖，菱形ABCD中，∠B＝60º，點E在邊BC上，點F在邊CD上．
(1)如圖1，若E是BC的中點，∠AEF＝60º，
求證：BE＝DF；
(2)如圖2，若∠EAF＝60º，
求證：△AEF是等邊三角形．

Answer 1

證明：（1）連接AC。

∵菱形ABCD中，∠B=60°，
∴AB=BC=CD，∠C=180°－∠B=120°。
∴△ABC是等邊三角形。
∵E是BC的中點，∴AE⊥BC。
∵∠AEF=60°，∴∠FEC=90°－∠AEF=30°。
∴∠CFE=180°－∠FEC－∠C=180°－30°－120°=30°。∴∠FEC=∠CFE。
∴EC=CF。∴BE=DF。
（2）連接AC。

∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACF。
∴△ABC是等邊三角形。
∴AB=AC，∠ACB=60°。∴∠B=∠ACF=60°。
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD。
∴∠AEB=∠AFC。
在△ABE和△AFC中，∵∠B=∠ACF，∠AEB=∠AFC， AB=AC，  
∴△ABE≌△ACF（AAS）。∴AE=AF。
∵∠EAF=60°，∴△AEF是等邊三角形。

解析