Question

（2011•金山區(qū)一模）已知邊長為4的正方形ABCD截去一個(gè)角后成為五邊形ABCFE（如圖）．其中EF=

5

，cot∠DEF=

1

2

．
（1）求線段DE、DF的長；
（2）若點(diǎn)P是線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PG⊥AB，PH⊥BC，設(shè)PG=x，四邊形BHPG的面積y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（寫出定義域）．并畫出函數(shù)大致圖象；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到四邊形BHPG相鄰兩邊之比為2：3時(shí)，求四邊形BHPG的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)cot∠DEF=

1

2

，可以設(shè)出DE=m．則DF=2m，然后利用勾股定理可以直接求出線段DE、DF的長；
（2）延長GP交DC于M，根據(jù)平行線分線斷成比例可得

PM

DE

=

FM

FD

，設(shè)PG=x，表示出FM，PM的長，即可得到關(guān)系式；
（3）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到四邊形BHPG相鄰兩邊之比為2：3，要分情況討論，當(dāng)

PG

PH

=

2

3

時(shí)，當(dāng)

HP

PG

=

2

3

時(shí)，分別求出y的值．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，
設(shè)DE=m．則DF=2m，
DE²+DF²=EF²，
即；5m²=5，
∴m=1，
∴DE=1，DF=2；

（2）延長GP交DC于M，
∵PG⊥AB，PH⊥BC，
∴GP∥AD∥CB，
∴PH∥BG，
∴

PM

DE

=

FM

FD

，
∵PG=x，GM=BC=AD=4，
PM=4-x，F(xiàn)M=2（4-x），
∴PH=CM=CF+FM=2+2（4-x）=10-2x，
∴y=x（10-2x）=-2x ²+10x（3≤x≤4）；
如圖所示：

（3）當(dāng)

PG

PH

=

2

3

時(shí)，
即

x

10-2x

=

2

3

，
x=

20

7

（不合題意舍去），
當(dāng)

HP

PG

=

2

3

時(shí)，
x=

15

4

，
y=

75

8

．
故四邊形BHPG的面積為

75

8

．

點(diǎn)評：此題主要考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵是設(shè)線段的長，利用相似的性質(zhì)表示矩形的面積，用二次函數(shù)的方法解題．