Question

已知關(guān)于x的方程x²+（2k+1）x+k²-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
（1）試求k的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得此方程兩根的平方和等于11？若存在，求出相應(yīng)的k值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）一元二次方程有兩不等根，則根的判別式△=b²-4ac＞0，建立關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍；
（2）設(shè)兩根為a、b，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得a+b=-（2k+1），ab=k²-2，則a²+b²=（a+b）²-2ab=[-（2k+1）]²-2（k²-2）=2k²+4k+5，由題意得2k²+4k+5=11，求解即可．

解答：解：（1）∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=b²-4ac=（2k+1）²-4（k²-2）=4k+9＞0，
解得：k＞-

9

4

；

（2）存在．設(shè)兩根為a、b，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得a+b=-（2k+1），ab=k²-2，
則a²+b²=（a+b）²-2ab=[-（2k+1）]²-2（k²-2）=2k²+4k+5，
由題意得2k²+4k+5=11，
解得k=-3或1，
∵k＞-

9

4

∴當(dāng)k=1，此方程兩根的平方和等于11．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系以及根與系數(shù)的關(guān)系．