Question

如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC=6cm，BD=8cm，動點P，Q分別從點B，D同時出發，運動速度均為1cm/s，點P沿B→C→D運動，到點D停止，點Q沿D→O→B運動，到點O停止1s后繼續運動，到B停止，連接AP，AQ，PQ．設△APQ的面積為y（cm²）（這里規定：線段是面積0的幾何圖形），點P的運動時間為x（s）．

（1）填空：AB=　5　cm，AB與CD之間的距離為　　cm；

（2）當4≤x≤10時，求y與x之間的函數解析式；

（3）直接寫出在整個運動過程中，使PQ與菱形ABCD一邊平行的所有x的值．

Answer 1

解：（1）∵菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，

∴AC⊥BD，

∴AB===5，

設AB與CD間的距離為h，

∴△ABC的面積S=AB•h，

又∵△ABC的面積S=S_菱形ABCD=×AC•BD=×6×8=12，

∴AB•h=12，

∴h==．

（2）設∠CBD=∠CDB=θ，則易得：sinθ=，cosθ=．

①當4≤x≤5時，如答圖1﹣1所示，此時點Q與點O重合，點P在線段BC上．

∵PB=x，∴PC=BC﹣PB=5﹣x．

過點P作PH⊥AC于點H，則PH=PC•cosθ=（5﹣x）．

∴y=S_△APQ=QA•PH=×3×（5﹣x）=﹣x+6；

②當5＜x≤9時，如答圖1﹣2所示，此時點Q在線段OB上，點P在線段CD上．

PC=x﹣5，PD=CD﹣PC=5﹣（x﹣5）=10﹣x．

過點P作PH⊥BD于點H，則PH=PD•sinθ=（10﹣x）．

∴y=S_△APQ=S_菱形ABCD﹣S_△ABQ﹣S_{四邊形BCPQ}﹣S_△APD

=S_菱形ABCD﹣S_△ABQ﹣（S_△BCD﹣S_△PQD）﹣S_△APD

=AC•BD﹣BQ•OA﹣（BD•OC﹣QD•PH）﹣PD×h

=×6×8﹣（9﹣x）×3﹣[×8×3﹣（x﹣1）•（10﹣x）]﹣（10﹣x）×

=﹣x²+x﹣；

③當9＜x≤10時，如答圖1﹣3所示，此時點Q與點B重合，點P在線段CD上．

y=S_△APQ=AB×h=×5×=12．

綜上所述，當4≤x≤10時，y與x之間的函數解析式為：

y=．

（3）有兩種情況：

①若PQ∥CD，如答圖2﹣1所示．

此時BP=QD=x，則BQ=8﹣x．

∵PQ∥CD，

∴，即，

∴x=；

②若PQ∥BC，如答圖2﹣2所示．

此時PD=10﹣x，QD=x﹣1．

∵PQ∥BC，

∴，即，

∴x=．

綜上所述，滿足條件的x的值為或．