Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=6cm，延長AB到E，使BE=2AB，連接CE，動點F從A出發以2cm/s的速度沿AE方向向點E運動，動點G從E點出發，以3cm/s的速度沿E→C→D方向向點D運動，兩個動點同時出發，當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止，設動點運動的時間為t秒．

（1）當t為何值時，FC與EG互相平分；
（2）連接FG，當t＜ 時，是否存在時間t使△EFG與△EBC相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
（3）設△EFG的面積為y，求出y與t的函數關系式，求當t為何值時，y有最大值？最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

∵AB=4，∴BE=2AB=8，

在Rt△BCE中，根據勾股定理得，CE=10，

由運動知，CG=3t﹣10，EF=AB+BE﹣2t=12﹣2t．

∵FC與EG互相平分，

∴點G必在CD邊上，

∴四邊形CEFG是平行四邊形，

∴CG=EF，

∴3t﹣10=12﹣2t，

∴t= ；

（2）解：∵當t＜ 時，點G在CE上，

∵△EFG與△EBC相似，

當△EFG∽△EBC時，

∴ ，

∴ ，

∴t= ，

當△EGF∽△EBC時，

∴ ，

∴ ，

∴t= ；

（3）解：當點G在CE上時，即：0＜t≤ ，如圖3，

過點G作GM⊥BE，

∴GM∥BC，

∴△EMG∽△EBC，

∴ ，

∴ ，

∴GM= t，

∴y=S△EFG= EFGM= ×（12﹣2t）× t=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣3）2+ ；

當t=3時，y最大= ．

當點G在CD上時，即： ＜t≤ ，

y=S△EFG= EF×BC= （12﹣2t）×6=﹣6t+36．

即：t=3時，y最大= ．

【解析】（1）在Rt△BCE中，根據勾股定理得，由運動知，CG=3t﹣10，EF=AB+BE﹣2t=12﹣2t．CE=10，判斷出四邊形CEFG是平行四邊形，再用對邊相等建立方程即可得出結論；（2）分當t＜ 時，點G在CE上與當點G在CD上時，即： ＜t≤ 兩種情況，用相似三角形的對應邊成比例建立方程即可；（3）分點G在CE上時，即：0＜t≤ 與點G在CD上時，即： ＜t≤ 兩種情況，用三角形的面積y=S△EFG= EFGM與y=S△EFG= EF×BC即可。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的面積的相關知識，掌握三角形的面積=1/2×底×高，以及對勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．