Question

23、如圖所示，已知P是正方形ABCD內一點，PA=1，PB=2，PC=3，以點B為旋轉中心，將△ABP順時針方向旋轉，使點A與點C重合，這時P點旋轉到G點，
（1）請畫出旋轉后的圖形，你能說出此時△ABP以點B為旋轉中心轉了多少度嗎？
（2）求證：△PGC是直角三角形．

Answer 1

分析：（1）根據旋轉中心，旋轉方向，旋轉后的位置，畫出圖形，求出旋轉角度數；
（2）由旋轉的性質可得可得：△ABP≌△CBG，旋轉角∠PBG=90°，BP=BG=2，先求PG，在△PCG中，已知PC=3，CG=AP=1，利用勾股定理的逆定理證明△PGC是直角三角形．

解答：（1）解：圖形如下，旋轉角為90°；

（2）證明：由已知可得：△ABP≌△CBG，
∴BP=BG，∠ABP=∠CBG，
CG=AP=1，
又在正方形ABCD中，
∠ABC=90°，
即∠ABP+∠PBC=90°，
∴∠CBG+∠PBC=90°，
∴∠PBG=90°，
∴在Rt△PBG中，PG²=BP²+BG²=8，
又∵GC²=1²=1，PC²=3²=9，
∴PC²=PG²+GC²，
∴△PGC是直角三角形．

點評：本題考查旋轉的性質--旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變；以及勾股定理的逆定理的運用．