Question

如圖，已知點A的坐標為（，3），AB⊥x軸，垂足為B，連接OA，反比例函數（k＞0）的圖象與線段OA、AB分別交于點C、D，若AB=3BD．
（1）求點C的坐標；
（2）以點C為圓心，CA的倍的長為半徑作圓，試判斷該圓與x軸的位置關系．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據A（，3），AB=3BD求出D點坐標，進而可得出反比例函數y=的解析式，用待定系數法求出直線OA的解析式，求出直線與反比例函數的交點坐標即可；
（2）過C點做CE垂直于OB于點E，由A、C兩點的坐標求出AC的長，根據C點坐標得出OC的長，進而得出CA的長，再比較出CA與CE長度的大小即可．
解答：解：（1）∵A（，3），AB=3BD，
∴D（，1），
∵點D在反比例函數y=的圖象上，
∴k=，
∴反比例函數的解析式為y=，
設直線OA的解析式為y=kx（k≠0），則3=k，解得k=，
∴直線OA的解析式為y=x，
∴，
解得或（舍去），
∴C（1，）；

（2）過C點做CE垂直于OB于點E，
∵A（，3），C（1，），
∴AC==2，
∵C（1，），
∴OC=2，
∴CA=2-2，
∴CA=（-1），CE=，
∵（-1）-=-＞0，
∴該圓與x軸相交．
點評：本題考查的是反比例函數綜合題，涉及到用待定系數法求一次函數及反比例函數的解析式等知識，難度適中．