Question

已知：如圖，?ABCD中，∠BCD的平分線交AB于E，交DA的延長線于F．
（1）求證：DF=DC；
（2）當DE⊥FC時，求證：AE=BE．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過角平分線的性質(zhì)可得出∠DCF=∠FCB，然后根據(jù)平行四邊形的對邊平行可得出∠DFC=∠FCB，從而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證得結(jié)論．
（2）首先根據(jù)題意可得出FE=EC，然后根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合題意條件可證得△AFE≌△BCE，這樣也就證得了結(jié)論．
解答：證明：（1）∵FC平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴FD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠DFC，
∴DF=DC．

（2）∵DF=DC，DE⊥FC，
∴FE=EC，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴FD∥BC
∴∠DFC=∠FCB
又∵∠AEF=∠CEB
∴△AFE≌△BCE，
∴AE=BE．
點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定，難度不大，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意將所證的結(jié)論進行變形，例如，證線段的相等往往轉(zhuǎn)化為證三角形的全等．