Question

【題目】如圖1，2在矩形紙片ABCD中，AD=6，AB=9.點M，N分別在AB，DC上（M不與A，B重合，N不與C，D重合），現以MN為折痕，將矩形紙片ABCD折疊.

（1）當B 點落在DC上時（如圖2），求證：△MNB是等腰三角形；

（2）當B點與D點重合時，試求△MNB的面積；

（3）當B點與AD的中點重合時，試求折痕MN的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）S△MNB=19.5；（3）MN=2.

【解析】試題分析：（1）先判斷出AM∥DN，進而得出∠BNM=∠BMN=∠NMH，即可得出結論；

（2）先根據勾股定理求出DN，再用三角形得面積公式即可得出結論；

（3）先根據勾股定理求出BH，再判斷出△ABH∽△EMN即可得出結論．

試題解析：（1）如答圖1，

∵四邊形AHGD是矩形 ，

∴AM∥DN，

∴∠BNM=∠BMN=∠MNH，

∴△MNB是等腰三角形.；

（2）如答圖2，當點B與點D重合時，

設MB=MF=x，則AM=9-x，

由勾股定理得：62+（9-x）2=x2，解得x=6.5，

∴MD=ND=6.5，

∴S△MNB=×6×6.5=19.5.

（3）如答圖3，當點B與AD的中點重合時，連接BH交MN于點F，過點N作NE⊥AH于點E，

∵AD=6，

∴AB=DB=3，

∴BH2=32+92.

∴BH=3.

∵NM垂直平分HB，NE⊥AH，

∴∠MNE=∠AHB.

∵∠A=∠NEM，

∴△ABH～△AHB.

∴.

∴.

∴MN=2.