Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點D在BC所在的直線上運動，作∠ADE=45°（A，D，E按逆時針方向）．
（1）如圖1，若點D在線段BC上運動，DE交AC于E．
①求證：△ABD∽△DCE；
②當△ADE是等腰三角形時，求AE的長．
（2）①如圖2，若點D在BC的延長線上運動，DE的反向延長線與AC的延長線相交于點E，是否存在點D，使△ADE'是等腰三角形？若存在，寫出所有點D的位置；若不存在，請簡要說明理由；
②如圖3，若點D在BC的反向延長線上運動，是否存在點D，使△ADE是等腰三角形？若存在，寫出所有點D的位置；若不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠ADB+∠BAD=135°，∠ADB+∠CDE=135°，得出∠BAD=∠CDE；第二問分AD=AE、AD=DE、AE=DE三種情況討論．
（2）存在，可證△ADC∽△AE′D，第二小題不存在（矛盾的結論）．
解答：解：（1）①由∠BAC=90°，AB=AC，推出∠B=∠C=45°．
由∠BAD+∠ADB=135°，∠ADB+∠EDC=135°得到∠BAD=∠EDC．
推出△ABD∽△DCE．

②分三種情況：
（ⅰ）當AD=AE時，∠ADE=∠AED=45°時，得到∠DAE=90°，點D、E分別與B、C重合，所以AE=AC=2．
（ⅱ）當AD=DE時，由①知△ABD∽△DCE，
又AD=DE，知△ABD≌△DCE．
所以AB=CD=2，故BD=CE=2，
所以AE=AC-CE=4-2．
（ⅲ）當AE=DE時，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，
故∠ADC=∠AED=90°．
所以DE=AE=AC=1．

（2）①存在（只有一種情況）．
由∠ACB=45°推出∠CAD+∠ADC=45°．
由∠ADE=45°推出∠DAC+∠DE′A=45°．
從而推出∠ADC=∠DE′A．證得△ADC∽△AE′D．
所以，又AD=DE′，所以DC=AC=2．
②不存在．
因為D和B不重合，
所以∠AED＜45°，∠ADE=45°，
∠DAE＞90度．
所以AD≠AE，
同理可得：AE≠DE．
點評：考查相似三角形的判定和性質，相似三角形和全等三角形的轉化．分情況討論等腰三角形的可能性．