Question

【題目】在，，．點P是平面內不與點A，C重合的任意一點．連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉α得到線段DP，連接AD，BD，CP．

（1）觀察猜想

如圖1，當時，的值是　 　，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數是　 　．

（2）類比探究

如圖2，當時，請寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數，并就圖2的情形說明理由．

（3）解決問題

當時，若點E，F分別是CA，CB的中點，點P在直線EF上，請直接寫出點C，P，D在同一直線上時的值．

Answer 1

【答案】（1）1，（2）45°（3），

【解析】

（1）如圖1中，延長CP交BD的延長線于E，設AB交EC于點O．證明，即可解決問題．

（2）如圖2中，設BD交AC于點O，BD交PC于點E．證明，即可解決問題．

（3）分兩種情形：①如圖3﹣1中，當點D在線段PC上時，延長AD交BC的延長線于H．證明即可解決問題．

②如圖3﹣2中，當點P在線段CD上時，同法可證：解決問題．

解：（1）如圖1中，延長CP交BD的延長線于E，設AB交EC于點O．

，

，

，，

，

，，

，

，

，線BD與直線CP相交所成的較小角的度數是，

故答案為1，．

（2）如圖2中，設BD交AC于點O，BD交PC于點E．

，

，

，

，

，，

，

，

直線BD與直線CP相交所成的小角的度數為．

（3）如圖3﹣1中，當點D在線段PC上時，延長AD交BC的延長線于H．

，，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

A，D，C，B四點共圓，

，，

，

，設，則，，

c．

如圖3﹣2中，當點P在線段CD上時，同法可證：，設，則，，

，

．