Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點O在BC邊上，⊙O與AB相切于點D，與AC相交于點E，已知CE•CA=CO•CB．
求證：（1）∠CEO=∠B；
（2）OE²=OC•OB．

Answer 1

分析：（1）欲證∠CEO=∠B，可證△CEO∽△CBA，由已知條件可以直接得出．
（2）欲證OE²=OC•OB，因為OE=OD，即證OD•OE=OB•OC，通過證明△CEO∽△DBO可以得出．

解答：解：（1）連接OD，（1分）
∵CE•CA=CO•CB，
∴CE：CB=CO：CA．（1分）
∵∠C=∠C，
∴△CEO∽△CBA．（1分）
∴∠CEO=∠B．（1分）

（2）∵⊙O與AB相切于點D，
∴∠ODB=90°．（1分）
∵∠C=90°，
∴∠C=∠ODB．（1分）
∵∠CEO=∠B，
∴△CEO∽△DBO．
∴

OC

OD

=

OE

OB

．（1分）
∴OE•OD=OC•OB．（1分）
∵OE=OD，
∴OE²=OC•OB．（1分）

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，要求學(xué)生能夠在圖形中準確找出對應(yīng)關(guān)系．