Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于點E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm．從初始時刻開始，動點P，Q 分別從點A，B同時出發，運動速度均為1cm/s，動點P沿A--B--C--E的方向運動，到點E停止；動點Q沿B--C--E--D的方向運動，到點D停止，設運動時間為xs，△PAQ的面積為y cm²，（這里規定：線段是面積為0的三角形）
解答下列問題：
（1）當x=2s時，y=

2

cm²；當x=

9

2

 s時，y=

9

cm²；
（2）當5≤x≤14 時，求y與x之間的函數關系式；
（3）當動點P在線段BC上運動時，求出y=

4

15

S_梯形ABCD時x的值．

Answer 1

分析：（1）當x=2s時，AP=2，BQ=2，利用三角形的面積公式直接可以求出y的值，當x=

9

2

s，時，三角形PAQ的高就是4，底為4.5，由三角形的面積公式可以求出其解．
（2）當5≤x≤14 時，求y與x之間的函數關系式．要分為三種不同的情況進行表示：當5≤x≤9時，當9＜x≤13時，當13＜x≤14時．
（3）可以由已知條件求出S_梯形ABCD，然后根據條件求出y值，代入當5≤x≤9時的解析式就可以求出x的值．

解答：解：（1）當x=2s時，AP=2，BQ=2
∴y=

2×2

2

=2，
當x=

9

2

s，時，AP=4.5，Q點在EC上，
∴y=

4.5×4

2

=9，
故答案為：2；9

（2）當5≤x≤9時
y=S_梯形ABCQ-S_△ABP-S_△PCQ=

1

2

（5+x-4）×4-

1

2

×5（x-5）-

1

2

（9-x）（x-4），
即y=

1

2

x²-7x+

65

2

，
當9＜x≤13時，
y=

1

2

（x-9+4）（14-x）
y=-

1

2

x²+

19

2

x-35，
當13＜x≤14時
y=

1

2

×8（14-x）
y=-4x+56；

（3）當動點P在線段BC上運動時，
∵y=S_梯形ABCD=

4

15

×

1

2

（4+8）×5=8，
∴8=

1

2

x²-7x+

65

2

，
即x²-14x+49=0，解得：x₁=x₂=7
∴當x=7時，y=

4

15

S_梯形ABCD．

點評：本題考查了用函數關系式表示變化過程中三角形的面積、梯形的面積等多個知識點．運用了分類討論的數學思想，是一道分段函數試題，難度中等．