Question

如圖點P在線段AB上，⊙P與x軸相切于D點，且與線段AO相切于C點，已知A、B兩點的坐標分別是（8，6），（5，0），
求：圓心P的坐標和⊙P的面積．

Answer 1

分析：過A作AE⊥x軸于E，PF∥x軸交OA于F，連接OP、PC、PD，由勾股定理求出OA=10，求出PC=PD，根據角平分線性質和平行線性質求出∠FOP=∠FPO，推出PF=OF，根據平行線性質得出比例式，求出

PB

AP

=

1

2

，求出r=2，求出BD、OD，得出P的坐標．

解答：解：
過A作AE⊥x軸于E，PF∥x軸交OA于F，連接OP、PC、PD，
∵A（8，6），B（5，0），
∴AE=6，OE=8，由勾股定理得：OA=10，
∵⊙P與x軸相切于D點，且與線段AO相切于C點，
∴PC⊥OA，PD⊥OB，
∵PC=PD，
∴∠FOP=∠BOP，
∵PF∥OB，
∴∠FPO=∠BOP，
∴∠FOP=∠FPO，
∴PF=OF，
∵PF∥OB，
∴

AP

PB

=

AF

FO

，
∴

AP

PB

=

AF

PF

，
∵

AF

AO

=

PF

OB

，
∴

AO

OB

=

AF

PF

，
即

AP

PB

=

AO

OB

=

10

5

=

2

1

，
∴

PB

AP

=

1

2

，

PB

AP+PB

=

1

2

，

r

6

=

PB

AB

=

1

3

，
r=

1

3

×6=2，
而

BD

BE

=

2

6

=

1

3

，
BD=

1

3

BE=

1

3

×（8-5）=1，
∴OD=5+1=6，
即P的坐標是（6，2），
⊙P的面積是π×2²=4π．

點評：本題考查了切線的性質，角平分線性質，平行線性質，平行線分線段成比例定理，圓的面積，坐標與圖形性質等知識點的綜合運用，題目綜合性比較強，難度偏大．