Question

（2010•萊蕪）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A（2，0），B（6，0）兩點，交y軸于點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若此拋物線的對稱軸與直線y=2x交于點D，作⊙D與x軸相切，⊙D交y軸于點E、F兩點，求劣弧EF的長；
（3）P為此拋物線在第二象限圖象上的一點，PG垂直于x軸，垂足為點G，試確定P點的位置，使得△PGA的面積被直線AC分為1：2兩部分？

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B、C的坐標代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數的值；
（2）根據（1）得到的拋物線的解析式，可求出其對稱軸方程聯立直線OD的解析式即可求出D點的坐標；由于⊙D與x軸相切，那么D點縱坐標即為⊙D的半徑；欲求劣弧EF的長，關鍵是求出圓心角∠EDF的度數，連接DE、DF，過D作y軸的垂線DM，則DM即為D點的橫坐標，通過解直角三角形易求得∠EDM和∠FDM的度數，即可得到∠EDF的度數，進而可根據弧長計算公式求出劣弧EF的長；
（3）易求得直線AC的解析式，設直線AC與PG的交點為N，設出P點的橫坐標，根據拋物線與直線AC的解析式即可得到P、N的縱坐標，進而可求出PN，NG的長；Rt△PGA中，△PNA與△NGA同高不等底，那么它們的面積比等于底邊PN、NG的比，因此本題可分兩種情況討論：
①△PNA的面積是△NGA的2倍，則PN：NG=2：1；②△PNA的面積是△NGA的，則NG=2PN；
可根據上述兩種情況所得的不同等量關系求出P點的橫坐標，進而由拋物線的解析式確定出P點的坐標．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經過點A（2，0），B（6，0），；
∴，
解得；
∴拋物線的解析式為：；（3分）

（2）易知拋物線的對稱軸是x=4，
把x=4代入y=2x，得y=8，
∴點D的坐標為（4，8）；
∵⊙D與x軸相切，∴⊙D的半徑為8；（1分）
連接DE、DF，作DM⊥y軸，垂足為點M；
在Rt△MFD中，FD=8，MD=4，
∴cos∠MDF=；
∴∠MDF=60°，
∴∠EDF=120°；（2分）
∴劣弧EF的長為：；（1分）

（3）設直線AC的解析式為y=kx+b；
∵直線AC經過點，
∴，
解得；
∴直線AC的解析式為：；（1分）
設點，PG交直線AC于N，
則點N坐標為，
∵S_△PNA：S_△GNA=PN：GN；
∴①若PN：GN=1：2，則PG：GN=3：2，PG=GN；
即=；
解得：m₁=-3，m₂=2（舍去）；
當m=-3時，=；
∴此時點P的坐標為；（2分）
②若PN：GN=2：1，則PG：GN=3：1，PG=3GN；
即=；
解得：m₁=-12，m₂=2（舍去）；
當m₁=-12時，=；
∴此時點P的坐標為；
綜上所述，當點P坐標為或時，△PGA的面積被直線AC分成1：2兩部分．（2分）
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點、圖形面積的求法等知識，需要特別注意的是（3）題中，△PGA被直線AC所分成的兩部分中，并沒有明確誰大誰小，所以要分類討論，以免漏解．