Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60°，E為CD邊中點，點P從點A開始沿AC方向以每秒cm的速度運動，同時，點Q從點D出發沿DB方向以每秒1cm的速度運動，當點P到達點C時，P，Q同時停止運動，設運動的時間為x秒.

【小題1】當點P在線段AO上運動時.
①請用含x的代數式表示OP的長度；
②若記四邊形PBEQ的面積為y，求y關于x的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）
【小題2】顯然，當x=0時，四邊形PBEQ即梯形ABED，請問，當P在線段AC的其他位置時，以P，B，E，Q為頂點的四邊形能否成為梯形？若能，求出所有滿足條件的x的值；若不能，請說明理由.

Answer 1

【小題1】①由題意得∠BAO=30°，AC⊥BD
∵AB="2 " ∴OB=OD=1，OA=OC=
∴OP=                                        ……………2分
②過點E作EH⊥BD，則EH為△COD的中位線
∴  ∵DQ="x"      ∴BQ=2-x
∴               …………………………1分
                      …………………………1分
∴     …………………………2分
【小題2】能成為梯形，分三種情況：
當PQ∥BE時，∠PQO=∠DBE=30°

∴
即 ∴x=
此時PB不平行QE，
∴x=時，四邊形PBEQ為梯形.               ………………………2分
當PE∥BQ時，P為OC中點

∴AP=，即
∴
此時，BQ=2-x=≠PE，
∴x=時，四邊形PEQB為梯形.                            …………………2分
當EQ∥BP時，△QEH∽△BPO

∴   ∴
∴x=1（x=0舍去）
此時，BQ不平行于PE，
∴x=1時，四邊形PEQB為梯形.                 ………………………………2分
綜上所述，當x=或或1時，以P，B，E，Q為頂點的四邊形是梯形. 

解析