Question

如圖：第一象限內的點A在一反比例函數圖象上，過點A作AB⊥x軸，垂足為B點，連接AO，已知△AOB的面積為4．①求反比例函數的解析式；②若點A的縱坐標為4，過點A的直線與x軸相交于點P，且△APB與△AOB相似，求所有符合條件的點P的坐標；③在②的條件下，求過P、O、A的拋物線的頂點坐標．

Answer 1

解：①設A（x_A，y_A）
∵
∵X_A＞0，Y_A＞0
∴x_Ay_A=8
設
∴x_Ay_A=k
∴k=8．
∴設比例函數解析式為．

②∵y_A=4，
∴x_A=2
∴A（2，4）
∴OB=2，AB=4
當∠AP₁B=∠AOB時，△AOB≌△APB
∴PB=OB=2，∴P₁（4，0）
當∠AP₂B=∠OAB時△AOB∽△P₂AB
可以由∴BP₂=8，∴P₂（10，0）．
當P₃在x軸負半軸上時，
且P₃與P₂關于點B對稱也滿足△AOB∽△P₃BA
由P₂（10，0），B（2，0），
∴P₃（-6，0）．

③當拋物線經過P₁（4，0），O（0，0），A（2，4）時
設解析式為y=ax²+bx+c
解
∴解析式為y=-x²+4x
∴頂點坐標是（2，4）
當拋物線經過P₂（10，0），O（0，0），A（2，4）時
設所求拋物線為y=a₂x²+b₂x
則
∴
∴頂點坐標是（5，）．
設經過P₃（-6，0），O（0，0），A（2，4）的解析式為：y=a₃x²+b₃x
則∴
∴拋物線的解析式是
∴頂點坐標是（3，）．
分析：（1）求反比例函數的解析式實質求Y=中K值，因為△AOB的面積為4，所以K=8；
（2）△APB與△AOB相似，可能全等，也可能相似，所以有三個點滿足條件；
（3）欲求過P、O、A的拋物線的頂點坐標，先求其解析式，知道P、O、A三點坐標，用待定系數法易求，即解．
點評：此題難度中等，考查反比例、二次函數的圖象性質及用待定系數法求函數的解析式，以及兩三角形相似等知識點．