Question

如圖，第一象限內(nèi)的點A在一反比例函數(shù)的圖象上，過A作AB⊥x軸，垂足為B，連接AO，已知△AOB的面積為4．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點A的縱坐標為4，過點A的直線與x軸交于P，且△APB與△AOB相似，求所有符合條件的點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，過點P、O、A的拋物線能否由拋物線y=

1

4

x2經(jīng)過平移得到？若能，請說明由拋物線y=

1

4

x2如何平移得到；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用反比例函數(shù)的性質即可得出k的值，即可得出答案；
（2）首先得出A點的坐標，再利用當△ABP∽△ABO時，以及當△PBA∽△ABO時，分別求出即可；
（3）根據(jù)當點P坐標是（4，0）或（10，0）時，拋物線的開口向下，不能由y=

1

4

x2的圖象平移得到，當點P坐標是（-6，0）時，求出二次函數(shù)解析式即可得出平移過程．

解答：解：（1）設反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

，
點A的坐標為（x，y），
∵S_△AOB=4，
∴

1

2

xy=4，
∴xy=8，
∴y=

8

x

；

（2）由題意得A（2，4），
∴B（2，0），
∵點P在x軸上，設P點坐標為（x，0），
∴∠ABO=∠ABP=90°，
∴△ABP與△ABO相似有兩種情況：
①當△ABP∽△ABO時，
有

AB

AB

=

BP

BO

，
∴BP=BO=2，
∴P（4，0），
②當△PBA∽△ABO時，
有

BA

BO

=

PB

AB

，
即

4

2

=

PB

4

，
∴PB=8，
∴P（10，0）或P（-6，0）；
∴符合條件的點P坐標是（4，0）或（10，0）或（-6，0）；

（3）當點P坐標是（4，0）或（10，0）時，拋物線的開口向下，
∴不能由y=

1

4

x2的圖象平移得到，
當點P坐標是（-6，0）時，設拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線過點P（-6，0）、A（2，4）與O（0，0），
∴a=

1

4

，b=

3

2

，c=0，
∴y=

1

4

x2+

3

2

x，
∴y=

1

4

(x+3)2-

9

4

，
∴該拋物線可以由y=

1

4

x2向左平移3個單位，向下平移

9

4

個單位平移得到．

點評：此題主要考查了反比例函數(shù)的性質以及相似三角形的性質以及二次函數(shù)的平移等知識，相似三角形的判定與性質經(jīng)常與二次函數(shù)綜合應用，同學們應特別注意．