Question

9．如圖，D是等邊三角形ABC內一點，將線段AD繞點A順時針旋轉60°，得到線段AE，連接CD，BE． 
（1）求證：∠AEB=∠ADC；
（2）連接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度數．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質知∠BAC=60°，AB=AC，由旋轉的性質知∠DAE=60°，AE=AD，從而得∠EAB=∠DAC，再證△EAB≌△DAC可得答案；
（2）由∠DAE=60°，AE=AD知△EAD為等邊三角形，即∠AED=60°，繼而由∠AEB=∠ADC=105°可得．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC．
∵線段AD繞點A順時針旋轉60°，得到線段AE，
∴∠DAE=60°，AE=AD．
∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．
∴∠EAB=∠DAC．
在△EAB和△DAC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠EAB=∠DAC}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△DAC．
∴∠AEB=∠ADC．

（2）如圖，

∵∠DAE=60°，AE=AD，
∴△EAD為等邊三角形．
∴∠AED=60°，
又∵∠AEB=∠ADC=105°．
∴∠BED=45°．

點評 本題主要考查等邊三角形的性質和旋轉的性質及全等三角形的判定與性質，熟練掌握旋轉的性質證得三角形的全等是解題的關鍵．