Question

（2009•東城區(qū)二模）點A、B、C在同一直線上，在直線AC的同側作△ABE和△BCF，連接AF，CE．取AF、CE的中點M、N，連接BM，BN，MN．
（1）若△ABE和△FBC是等腰直角三角形，且∠ABE=∠FBC=90°（圖1），則△MBN是______三角形；
（2）在△ABE和△BCF中，若BA=BE，BC=BF，且∠ABE=∠FBC=α，（圖2），則△MBN是______三角形，且∠MBN=______；
（3）若將（2）中的△ABE繞點B旋轉一定角度，（圖3），其他條件不變，那么（2）中的結論是否成立？若成立，給出你的證明；若不成立，寫出正確的結論并給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意可知△ABF，△EBC的關系可看作△EBC是由△ABF繞點B順時針旋轉90度得到的，所以BM=BN，BM⊥BN，即△MBN是等腰直角三角形；
（2）根據題意可知△ABF≌△EBC，根據全等三角形的性質可知對應中線相等，所以MB=NB，即△MBN是等腰三角形，所以△BMN∽△BEA，則∠MBN=∠ABE=∠FBC=α；
（3）結論仍然成立，先根據條件證明△ABF≌△EBC，得到AF=CE．∠AFB=∠ECB，從而證明△MFB≌△NCB，所以BM=BN，∠MBF=∠NBC，則∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=α．
解答：解：（1）∵BM=BN，BM⊥BN，
∴△MBN是等腰直角三角形；

（2）∵∠ABE=∠FBC=α，
∴∠ABF=∠EBC，
又∵BA=BE，BC=BF，
∴△ABF≌△EBC，
∴MB=NB，即△MBN是等腰三角形，
∴△BMN∽△BEA，則∠MBN=∠ABE=∠FBC=α；

（3）結論仍然成立．
證明：在△ABF和△EBC中，
（SAS），
∴△ABF≌△EBC，
∴AF=CE，∠AFB=∠ECB．
∵M，N分別是AF、CE的中點，
∴FM=CN，
∴△MFB≌△NCB，
∴BM=BN，∠MBF=∠NBC，
∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=α．
點評：主要考查了旋轉的性質，等腰三角形和全等三角形的判定．要掌握等腰三角形和全等三角形的性質及其判定定理并會靈活應用是解題的關鍵．