Question

如圖是小明制作的一個圓錐形紙帽的示意圖，圍成這個紙帽的紙（圓錐的側面）的面積為    cm²．若從紙帽的底面圓周上點A處用一條紅線繞紙帽的側面一圈，那么這樣的紅線至少要    cm．（紅線的接頭長度忽略不計）

Answer 1

【答案】分析：易得圓錐的底面半徑為10cm，圓錐的側面積=π×底面半徑×母線長；易得圓錐的底面周長，也就是側面展開圖的弧長，利用弧長公式可得圓錐側面展開圖的圓心角度數，求得側面展開圖中AA′的距離即為最短的紅線長．
解答：解：∵圓錐的底面半徑為20÷2=10cm，
∴圓錐的側面積=π×10×30=300πcm²．圓錐的底面周長為2π×10=20πcm．
設圓錐側面展開圖的圓心角為n，
=20π，
解得n=120°．
作OC⊥AA′于點C，
∴∠AOC=60°，
∴AC=AO×sin∠AOC=15cm，
∴AA′=2AC=30cm．
故答案為300π；30．
點評：考查圓錐的計算；突破點是求得圓錐側面展開圖的圓心角度數；用到的知識點為：立體幾何中的最短距離問題要轉換為平面幾何中求兩點的距離問題；圓錐的底面周長等于側面展開圖的弧長．