Question

（2006•湖州）已知如圖，矩形OABC的長OA=，寬OC=1，將△AOC沿AC翻折得△APC．
（1）填空：∠PCB=______度，P點坐標為______

Answer 1

【答案】分析：（1）在直角△OAC中，根據三角函數就可以求出∠CAO的度數，以及∠OCA的度數．而∠PCA=∠OCA∠BCA=∠CAO，則：∠PCB就可以求出．在直角△PCG中，根據三角函數可以求得CG，PG的長，從而得到P的坐標．
（2）P、A兩點的坐標容易得到，根據待定系數法就可以求出拋物線的解析式．求出b，c的值．C點的坐標已知，代入函數的解析式，就可以判斷是否在函數的圖象上．
（3）過點M作MF⊥x軸分別交CP、CB和x軸于E、N和F，過點P作PG⊥x軸交CB于G，根據S_△CMP=s_△CME+S_△PME，四邊形MCAP的面積就可以表示成OF的函數，利用函數的性質，就可以求出最值．
解答：解：（1）30，（，）

（2）∵點P（，），A（，0）在拋物線上，
∴
∴
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+1
C點坐標為（0，1）
∵-×0²+×0+1=1
∴C點在此拋物線上．

（3）假設存在這樣的點M，使得四邊形MCAP的面積最大．
∵△ACP面積為定值，
∴要使四邊形MCAP的面積最大，只需使△PCM的面積最大．
過點M作MF⊥x軸分別交CP、CB和x軸于E、N和F，過點P作PG⊥x軸交CB于G．
S_△CMP=s_△CME+S_△PME=ME•CG=ME
設M（x，y），
∵∠ECN=30°，CN=x，
∴EN=x
∴ME=MF-EF=-x²+x
∴S_△CMP=-x²+x
∵a=-＜0，
∴S有最大值．
當x=時，S的最大值是，
∵S_△MCAP=s_△CPM+S_△ACP
∴四邊形MCAP的面積的最大值為
此時M點的坐標為（，）
所以存在這樣的點M（，），使得四邊形MCAP的面積最大，其最大值為．
點評：本題主要考查了待定系數法求函數的解析式，最值問題基本的解決思路是轉化為函數問題．