Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，過B作BA₁⊥AC，過A₁作A₁B₁⊥BC，得陰影Rt△A₁B₁B；再過B₁作B₁A₂⊥AC，過A₂作A₂B₂⊥BC，得陰影Rt△A₂B₂B₁；…如此下去，請猜測這樣得到的所有陰影三角形的面積之和為（　　）

• A、

  16

  25

• B、

  96

  25

• C、

  51

  14

• D、

  96

  41

Answer 1

分析：若逐一求陰影部分的面積此題會比較復雜，可從整體的角度來求解此題；易知所有白色部分的小直角三角形都與陰影部分的三角形相似，那么它們的面積比應該等于相似比的平方，它們的相似比為AB：A₁B，AB的長已知，根據直角三角形面積的不同表示方法可求得A1B，由此求得陰影部分占△ABC面積的比例大小，從而可求得陰影部分的面積和．

解答：解：∵A₁B₁∥AB，
∴Rt△ABA₁∽△BA₁B₁，同理可證：Rt△A₁B₁A₂∽Rt△B₁A₂B₂，…；
即白色部分的小直角三角形與陰影部分的小直角三角形逐一對應相似，
在Rt△ABC中，BA₁⊥AC，
由S=

1

2

AB•BC=

1

2

AC•BA₁，故BA₁=

12

5

，
∴AB：BA₁=3：

12

5

=5：4，
∴白色部分小直角三角形的面積和：陰影部分小直角三角形的面積和=AB²：BA₁²=25：16，
故S_陰影=

16

41

S_△ABC=

96

41

．
故選D．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定和性質，注意整體思想在此題中的應用．