Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°P為底BC上一點（不與B、C重合）連接AP，過P點作PE交DC于E，使得∠APE=∠B．
（1）求證：△ABP∽△PCE；
（2）求梯形的腰AB的長．

Answer 1

（1）證明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，
∴∠C=∠B=60°，
∴∠BAP+∠APB=180°-∠B=120°，
∵∠APE=∠B=60°，
∴∠APB+∠CPE=180°-∠APE=120°，
∴∠BAP=∠CPE，
∴△ABP∽△PCE；

（2）解：過點A作于AF∥CD交BC于點F，
∵AD∥BC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∴CF=AD=3cm，AF=CD，
∴BF=BC-CF=7-3=4（cm），
∵AB=CD，
∴AB=AF，
∵∠B=60°，
∴△ABF是等邊三角形，
∴AB=BF=4cm．
分析：（1）由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，可得∠B=∠C，又由∠APE=∠B，易證得∠BAP=∠CPE，即可得△ABP∽△PCE；
（2）首先過點A作于AF∥CD交BC于點F，可得四邊形ADCF是平行四邊形，繼而可證得△ABF是等邊三角形，即可求得答案．
點評：此題考查了等腰梯形的性質、相似三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質以及等邊三角形的判定與性質．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．