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(2009•唐山二模)已知:如圖,四邊形ABCD是等腰梯形,其中AD∥BC,AD=2,BC=4,AB=DC=2,點M從點B開始,以每秒1個單位的速度向點C運動;點N從點D開始,沿D-A-B方向,以每秒1個單位的速度向點B運動.若點M、N同時開始運動,其中一點到達終點,另一點也停止運動,運動時間為t(t>0).過點N作NP⊥BC與P,交BD于點Q.
(1)點D到BC的距離為______;
(2)求出t為何值時,QM∥AB;
(3)設△BMQ的面積為S,求S與t的函數關系式;
(4)求出t為何值時,△BMQ為直角三角形.

【答案】分析:(1)分別過點A,D作BC邊上的高,交BC邊于E,F,由于四邊形ABCD是等腰梯形,可得出BE=CF=(BC-AD)÷2=1,又由AB=DC=2,根據勾股定理可得點D到BC的距離DF==
(2)根據(1)得出的DF的值,可求出BD的長為2,那么三角形BDC是個直角三角形,且∠C=60°,∠DBC=30°,如果QM∥AB,可得出∠PMQ度數也是60°,可先表示出MP的長,然后根據∠PQM的度數表示出PQ,然后根據QP∥DF,得出關于QP,DF,BP,BF的比例關系式,DF的值是定值,可表示出BP,BF,這樣就可求出t的值.
(3)要分兩種情況進行討論
①當N在AD上時,關鍵是求出PQ,可在直角三角形BPQ中,先表示出BP,然后根據∠QBP的度數即可求出PQ的長,然后根據三角形的面積公式即可得出S,t的函數關系式.
②N在AB上時,還是要先求出PQ的值,可先表示出BN,然后在直角三角形BNP中,表示出BP,進而在直角三角形BPQ中,用BP表示出PQ,即可根據三角形的面積公式得出S,t的函數關系式.
(4)也要分兩種情況進行討論.
第一種情況,當N在AD上時,①當∠BMQ=90°時,那么M,P重合,于是就有BM+ND+FC=BC,即2t+1=4,即可得出t的值.
②當∠BQM=90°時,可先在直角三角形NDQ中,用ND的長,表示出NQ,然后根據求出的D到BC的距離,即可表示出PQ,這時PQ的第一種表示方法.第二種表示方法是,在直角三角形BMQ中,用BM表示出QM,然后在直角三角形QPM中,表示出PQ,然后可讓這兩個表示PQ的式子相等,即可得出此時的t的值.
第二種情況,當N在AB上時,此時只有∠BQM=90°,方法同②,也是通過不同的表示PQ的方法來得出t的值,方法同(3)②.
解答:解:(1)

(2)過A作AE⊥BC于E,過D作DF⊥BC于F,則四邊形AEFD是矩形.
BE=CF==1.
直角三角形CFD中,CF=1,CD=2,cos∠C=
∴∠C=60°,DF=
∴∠ABE=∠C=60°
∵QM∥AB
∴∠QMP=60°
∵BM=t,PF=ND=t,FC=1,BC=4
∴PM=3-2t,BP=3-t.
直角三角形QPM中,∠QMP=60°,PM=3-2t,QP=(3-2t).
∵QP⊥BC,DF⊥BC
∴QP∥DF,
∴△BQP∽△BDF,
=,即=
∴5t=6,即t=1.2(s)
當t=1.2s時,QM∥AB

(3)當0<t≤2時,三角形BDF中,BF=3,DF=
∴BD=2
三角形BCD中,CD=2,BD=2,BC=4,
因此BD2+CD2=BC2
即三角形BDC是直角三角形,且∠BDC=90°,∠DBC=30°.
直角三角形BQP中,BP=3-t,∠DBC=30°,
∴PQ=(3-t)
因此:S=×t×(3-t)=-t2+t
當2<t<4時,直角三角形NBP中,∠ABC=60°,BN=4-t,
∴BP=
在直角三角形BPQ中,∠DBC=30°,BP=
∴QP=
因此:S=×t×=-t2+t

(4)當0<t≤2時,即N在AD上時,分兩種情況進行討論:
①當∠BMQ=90°,即M與P點重合,那么BM+PF+CF=BM+ND+CF=2t+1=4
解得:t=1.5s.
②當∠BQM=90°,在直角三角形NQD中,ND=t,∠ADB=∠DBC=30°,
∴NQ=t.
∵NP=
∴QP=-t
在直角三角形BQM中,∠DBC=30°,BM=t
∴QM=t
在直角三角形QPM中,∠QMP=60°,QM=t
∴QP=t
-t=t.
解得t=s.
當2<t<4時,∠BQM=90°
直角三角形BNP中,BN=4-t,∠ABC=60°,
∴BP=
∴PM=BM-BP=t-=
在直角三角形BPQ中,∠DBC=30°,BP=
∴PQ=
直角三角形QPM中,∠QMP=60°,PM=
∴PQ=
因此=
解得t=1.6s,與此時t的取值范圍不符,
因此這種情況不成立.
綜上所述,當t=1.5s或s,△BMQ是直角三角形.
點評:本題主要考查了等腰梯形的性質,相似三角形的性質等知識點,要注意的是(3)(4)都要分情況討論,不要漏解.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源:2010年浙江省初中畢業生學業考試適應性監測考試數學試卷(解析版) 題型:解答題

(2009•唐山二模)某個體經營戶把開始六個月試銷A、B兩種商品的逐月投資與所獲利潤列成下表:
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(萬元)
123456
獲取利潤(萬元)0.651.401.8521.851.40
投資B種商品金額
(萬元)
123456
獲取利潤(萬元)0.250.50.7511.251.5
(1)設投資A種商品金額xA萬元時,可獲得純利潤yA萬元,投資B種商品金額xB萬元時,可獲得純利潤yB萬元,請分別在如圖所示的直角坐標系中描出各點,并畫出圖象;
(2)觀察圖象,猜測并分別求出yA與xA,yB與xB的函數關系式;
(3)若該經營戶準備下月投入資金12萬元經營這兩種商品,但不知投入A、B兩種商品各多少才合算,請你幫助制定一個能獲得最大利潤的資金投入方案,并計算出這個最大利潤是多少.

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123456
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(1)設投資A種商品金額xA萬元時,可獲得純利潤yA萬元,投資B種商品金額xB萬元時,可獲得純利潤yB萬元,請分別在如圖所示的直角坐標系中描出各點,并畫出圖象;
(2)觀察圖象,猜測并分別求出yA與xA,yB與xB的函數關系式;
(3)若該經營戶準備下月投入資金12萬元經營這兩種商品,但不知投入A、B兩種商品各多少才合算,請你幫助制定一個能獲得最大利潤的資金投入方案,并計算出這個最大利潤是多少.

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(3)直線OC繞點O逆時針旋轉90°,求出點D的對應點D′的坐標.

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