Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于A（-4，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）點(diǎn)P是拋物上第三象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABCP的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形ABCP的面積；
（3）點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸上，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M、N，使得以點(diǎn)M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于A（-4，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，
∴

16a-4b-4=0 9a+3b-4=0

，解得

a= 1 3 b= 1 3

，
∴拋物線的解析式為y=

1

3

x²+

1

3

x-4；

（2）如圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，

1

3

m²+

1

3

m-4），則-4＜m＜0，

1

3

m²+

1

3

m-4＜0．連接OP．
∵S_{四邊形ABCP}=S_△AOP+S_△COP+S_△BOC
=

1

2

×4（-

1

3

m²-

1

3

m+4）+

1

2

×4（-m）+

1

2

×4×3
=-

2

3

m²-

8

3

m+14
=-

2

3

（m+2）²+

50

3

，
∴當(dāng)m=-2時(shí)，四邊形ABCP的面積最大，最大值為

50

3

，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，-

10

3

）；

（3）存在這樣的點(diǎn)M、N，能夠使得以點(diǎn)M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．理由如下：
∵OB=3，OC=4，∠BOC=90°，
∴BC=

32+42

=5．
設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

1

2

，y），分兩種情況討論：
（i）以BC為邊長(zhǎng)時(shí)，
如果四邊形CBMN是菱形，那么BM=BC，
即（3+

1

2

）²+y²=25，解得y=±

51

2

，
即存在M（-

1

2

，

51

2

）或（-

1

2

，-

51

2

），能夠使以點(diǎn)M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；
如果四邊形BCMN是菱形，那么CM=BC，
即（0+

1

2

）²+（y+4）²=25，
整理，得4y²+32y-35=0，解得y=-4±

3 11

2

，
即存在M（-

1

2

，-4+

3 11

2

）或（-

1

2

，-4-

3 11

2

），能夠使以點(diǎn)M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；
（ii）以BC為對(duì)角線時(shí)，四邊形MCNB是菱形，則BM=CM，
即（3+

1

2

）²+y²=（0+

1

2

）²+（y+4）²，解得y=-

1

2

，
即存在M（-

1

2

，-

1

2

），能夠使以點(diǎn)M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；
綜上可知，存在這樣的點(diǎn)M、N，使得以點(diǎn)M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M₁（-

1

2

，

51

2

），M₂（-

1

2

，-4+

3 11

2

），M₃（-

1

2

，-

51

2

），M₄（-

1

2

，-4-

3 11

2

），
M₅（-

1

2

，-

1

2

）．