Question

如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，動點E以每秒1個單位長度的速度從點A開始沿邊AB向點B運動，動點F以每秒2個單位長度的速度從點B開始沿折線BC﹣CD向點D運動，動點E比動點F先出發1秒，其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，設點F的運動時間為t秒．

（1）點F在邊BC上．

①如圖1，連接DE，AF，若DE⊥AF，求t的值；

②如圖2，連結EF，DF，當t為何值時，△EBF與△DCF相似？

（2）如圖3，若點G是邊AD的中點，BG，EF相交于點O，試探究：是否存在在某一時刻t，使得=？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）①如圖1

∵DE⊥AF，

∴∠AOE=90°，

∴∠BAF+∠AEO=90°，

∵∠ADE+∠AEO=90°，

∴∠BAE=∠ADE，

又∵四邊形ABCD是正方形，

∴AE=AD，∠ABF=∠DAE=90°，

在△ABF和△DAE中，

∴△ABF≌△DAE（ASA）

∴AE=BF，

∴1+t=2t，

解得t=1．

②如圖2

∵△EBF∽△DCF

∴=，

∵BF=2t，AE=1+t，

∴FC=4﹣2t，BE=4﹣1﹣t=3﹣t，

∴=，

解得，t=，t=（舍去），

故t=．

（2）①0＜t≤2時如圖3，以點B為原點BC為x軸，BA為y軸建立坐標系，

A的坐標（0，4），G的坐標（2，4），F點的坐標（2t，0），E的坐標（0，3﹣t）

EF所在的直線函數關系式是：y=x+3﹣t，

BG所在的直線函數關系式是：y=2x，

∵BG==2

∵=，

∴BO=，OG=，

設O的坐標為（a，b），

解得

∴O的坐標為（，）

把O的坐標為（，）代入y=x+3﹣t，得

=×+3﹣t，

解得，t=（舍去），t=，

②當3≥t＞2時如圖4，以點B為原點BC為x軸，BA為y軸建立坐標系，

A的坐標（0，4），G的坐標（2，4），F點的坐標（4，2t﹣4），E的坐標（0，3﹣t）

EF所在的直線函數關系式是：y=x+3﹣t，

BG所在的直線函數關系式是：y=2x，

∵BG==2

∵=，

∴BO=，OG=，

設O的坐標為（a，b），

解得

∴O的坐標為（，）

把O的坐標為（，）代入y=x+3﹣t，得

=×+3﹣t，

解得：t=．

綜上所述，存在t=或t=，使得=．