Question

【題目】拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．

求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

該拋物線與直線相交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)且位于x軸下方，直線軸，分別與x軸和直線CD交于點(diǎn)M、N．

連結(jié)PC、PD，如圖1，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說明理由；

連結(jié)PB，過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)Q，如圖2，是否存在點(diǎn)P，使得與相似？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，的面積存在最大值，最大值為81；

存在點(diǎn)P，使得與相似，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．

【解析】

(1)由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

(2)①聯(lián)立拋物線與直線CD的解析式成方程組，通過解方程組可求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為，，根據(jù)三角形面積公式可得出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；②利用相似三角形的性質(zhì)可得出：若與相似，則有或，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，進(jìn)而可得出，，，，將其代入或中即可求出x的值，結(jié)合即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

(1)∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，

，

解得，

該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為；

(2))①聯(lián)立拋物線與直線CD的解析式成方程組，

得：，

解得：，，

與相似，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為，

，

．

，

當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為81，

在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，的面積存在最大值，最大值為81．

②∵，

若與相似，則有或，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，

，，，．

當(dāng)或時(shí)，有，

解得：，舍去，

點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

當(dāng)時(shí)，有，

解得：，舍去，

點(diǎn)P的坐標(biāo)為．

綜上所述：存在點(diǎn)P，使得與相似，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．