Question

（2007•湖州）自選題：
如圖，正方形ABCD的周長為40米，甲、乙兩人分別從A、B同時出發，沿正方形的邊行走，甲按逆時針方向每分鐘行55米，乙按順時針方向每分鐘行30米．
（1）出發后______分鐘時，甲乙兩人第一次在正方形的頂點處相遇；
（2）如果用記號（a，b）表示兩人行了a分鐘，并相遇過b次，那么當兩人出發后第一次處在正方形的兩個相對頂點位置時，對應的記號應是______．

Answer 1

【答案】分析：由于兩人不是在同一頂點出發，所以兩人第一次在同一頂點相遇，需要通過的距離之和等于周長的整數倍再加一條邊的長度，即85t=40n+10，其中n是第一次在同一頂點相遇之前通過的周長的個數．
解答：解：（1）∵兩個人的速度之和是85米每分鐘，分鐘后兩人第一次相遇．如果要兩人在頂點相遇，
則：每個人所走的路程均為10的整數倍，且兩個人所走路程之和為10+40n（n是指邊得條數）．
S=10+40n，n為0、1、2、3…n    ①
S_甲=55t可以被10整除  t為2、4、6…②
S_乙=30t也可以被10整除  t為甲方取值即可，
∵S=S_甲+S_乙，
整理得：55t+30t=10+40n，即：85t=10+40n，
∴n=③，
由①②③得：當t=2時，兩人第一次在頂點相遇．
此時甲走了110米，乙走了60米，相遇在點D．

（2）點甲、乙相遇則兩者走時間相同，
設甲走x米，則乙走x=x米，
∵要相遇在正方形頂點，
∴x和x都要為10的整數倍且x+x-10=x-10為40的整數倍（除第一次走10米相遇，以后每次相遇都要再走40米），
∴（a-）×85=40（b-1）+20，
由（1）可知：當a=6時，甲走了330米，甲走到點B，
乙走了180米，乙走到點D，
解得：b=13，
故答案為：（6，13）
點評：本題的難點在于，如果用經典的數學演繹推理，容易將此題化歸為“不定方程”這一學生沒有系統學習過的數學模型．所以，沒有用合情推理研究本題，是解答此題的一個解題策略層面的方向性錯誤．學生是否有合理運用“合情推理”的意識，是否知道在怎樣的情況下要用合情推理，在怎樣的情況下不宜用合情推理，這是學生能否正確選擇這道題的解題策略方向的關鍵所在．