Question

（2013•樂清市模擬）如圖，等腰Rt△ABO的斜邊OB在x軸上，O是坐標原點，點A在第一象限內，BO=2，點C（t，0）是線段OB上一動點（不與O，B重合），△OAC的外接圓⊙P與y軸的另一交點為D．
（1）求證：OD=BC；
（2）當t為何值時，線段CD長度最小，并求出最小值；
（3）過點A作⊙P的切線分別交x軸、y軸于E，F，
①求證：OD•OE=OC•OF；
②設W=AE•AF，探索W的值是否隨t的改變而改變？若是，則用含t的代數式表示W，并求W的取值范圍；若不是，則求W的值．

Answer 1

分析：（1）連結AD，根據等腰直角三角形性質得到OA=OB，∠AOB=∠ABO=45°，則∠AOD=45°，在根據圓內接四邊形的性質得到∠ACB=∠ADO，則可根據“AAS”判斷△AOD≌△ABC，所以OD=BC；
（2）先表示出OC=t，BC=2-t（0＜t＜2），則OD=BC=2-t，再根據勾股定理得到CD=

OC2+OD2

=

t2+(2-t)2

，然后利用二次函數的性質求CD的最小值；
（3）①根據切線的性質得到PA⊥EF，再根據圓周角定理得到∠APD=2∠AOD=90°，即PA⊥DC，所以DC∥EF，由此利用平行線分線段成比例定理得到
OD：OF=OC：OE，然后根據比例的性質得OD•OE=OC•OF；
②作AH⊥OB于H，則AH=OH=1，設OE=x，則EC=x-t，HE=x-1，根據切割線定理得到EA²=EC•EO=（x-t）•x，再根據勾股定理得到EA²=AH²+HE²，則x（x-t）=1+（x-1）²，解得OE=

2

2-t

，由OD：OF=OC：OE得到OF=

2-t

t

OE=

2

t

，再變形W=AE•AF得到W=

(AE+AF)2-AE2-AF2

2

，接著利用勾股定理和切割線定理得到
W=

1

2

（EF²-EC•EO-FD•OF），整理后把OE和OF的值代入得到W=

2t2-4t+4

-t2+2t

，再進行變形得W=

2(t2-2t)+4

-(t2-2t)

=

4

-(t-1)2+1

-2，然后根據二次函數的性質確定W的范圍．

解答：（1）證明：連結AD，如圖，
∵△OAB為等腰直角三角形，
∴OA=OB，∠AOB=∠ABO=45°，
∴∠AOD=45°，
在△AOD和△ABC中，

∠ADO=∠ACB ∠AOD=∠ABC AO=AB

，
∴△AOD≌△ABC（AAS），
∴OD=BC；

（2）解：∵BO=2，點C坐標為（t，0）
∴OC=t，BC=2-t（0＜t＜2），
∴OD=BC=2-t，
在RtOCD中，CD=

OC2+OD2

=

t2+(2-t)2

=

2(t-1)2+2

，
當t=1時，CD有最小值，最小值為

2

；

（3）①連結PA，如圖，
∵EF為⊙O的切線，
∴PA⊥EF，
∵∠APD=2∠AOD=2×45°=90°，
∴PA⊥DC，
∴DC∥EF，
∴OD：OF=OC：OE，
∴OD•OE=OC•OF；
②W的值隨t的改變而改變．
作AH⊥OB于H，如圖，
∵△OAB為等腰直角三角形，OB=2，
∴AH=OH=1，
設OE=x，則EC=x-t，HE=x-1，
∵EA²=EC•EO，
∴EA²=（x-t）•x，
∵EA²=AH²+HE²，
∴x（x-t）=1+（x-1）²，解得x=

2

2-t

∴OE=

2

2-t

，
∵OD：OF=OC：OE，
∴OF：OE=（2-t）：t，
∴OF=

2-t

t

OE=

2-t

t

•

2

2-t

=

2

t

，
W=AE•AF=

(AE+AF)2-AE2-AF2

2

=

1

2

（EF²-EC•EO-FD•OF）
=

1

2

{OE²+OF²-（EO-t）•EO-[OF-（2-t）]}
=

1

2

[t•OE+（2-t）•FO]
=

1

2

[t•

2

2-t

+（2-t）•

2

t

]
=

2t2-4t+4

-t2+2t

=

2(t2-2t)+4

-(t2-2t)

=

4

-(t-1)2+1

-2，
∵-（t-1）²+1≤1，
∴W≥2．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練運用圓周角定理、切線長定理、切割線定理和等腰直角三角形的性質；會運用勾股定理、相似比進行幾何計算；應用二次函數的最值問題解決代數式的最大值和最小值．