Question

（2013•樂清市模擬）如圖，在△ABC中，點O在AB邊上，以O為圓心的圓經過A，C兩點，交AB于點D，且2∠A+∠B=90°，
（1）求證：BC是⊙O的切線．
（2）若OA=6，且OD=BD，求AC的長．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍得到∠COD=2∠A，由2∠A與∠B之和為90度，得到∠COD與∠B互余，在三角形COB中，得到∠OCB為直角，即可確定出BC為圓O的切線；
（2）連接CD，可證明直角三角形ACD中∠A=30°，利用銳角三角函數(shù)即可求出AC的長．

解答：（1）證明：連接OC，
∵

CD

=

CD

，
∴∠COD=2∠A，
∵2∠A+∠B=90°，
∴∠COD+∠B=90°，
在△OCB中，∠OCB=90°，
∴BC是⊙O的切線；
（2）連接CD，
∵∠COB=2∠A，2∠A+∠B=90°，
∴∠B+∠COA=90°，
∵CD=

1

2

BO，
∵OD=BD，
∴CD=

1

2

AD，
∴∠A=30°
∴cos30°=

AC

AD

，
∵AD=2AB=12，
∴AC=6

3

．

點評：此題考查了切線的判定，特殊角的銳角三角函數(shù)以及圓周角定理，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．